Мягков Иван Михайлович начинал учиться на историческом факультете Томского университета. В 1921 г. занимал должность заведующего археологической секцией подотдела охраны памятников искусства и старины отдела народного образования Томского губисполкома. В 1922 г. после увольнения А.Н. Тихомирова был назначен директором музея.
В 1921 г. факультет закрылся, и большинство преподавателей уехало в Петроград. Профессор Богаевский Б.Л. пригласил с собой и студента Ивана Мягкова. В августе 1922 г. Мягков И.М. уехал в Петроград. Параллельно с учёбой в Петроградском университете работал в Эрмитаже истопником.
В 1925 г. вернулся из Петрограда в Томск. Был принят в музей внештатным сотрудником. Провел большую работу: классифицировал материал по отделу Востока и археологии, организовал выставки, обследовал памятники архитектуры. Вел археологические работы: разведку, раскопки, сбор материала. Мягкову И.М. принадлежит заслуга открытия кулайской археологической культуры.
С 1931 г. перешёл на работу в Западно-Сибирское геологическое управление. Похоронен в Томске в 1991 году.